さくらんぼの木を移植するとしたら、 やはり、本職の園芸業者さんにお願いしたほうがいいのでしょうか？

実物を見ないと具体的にはお答えできませんが、まず言える事は、どちらも大きさによって難易度が違ってきます。
移植は、樹木にとっては大手術といえます。
大きい樹木は特に、掘取作業によって細根の多くが失われ、水分・養分の吸収が妨げられ、最悪の場合は枯死してしまいます。
それを防ぐ為、移植の６ヶ月から1年くらい前に掘取る根の大きさに根を切り、切られた太い根から細根を発生させる、根回しという作業を行って打撃を最小限にすることもあります。

しかし、前もって予定していたのではなく、急に移さなければならない場合も多く見かけられます。
その場合、できるだけ枯死のリスクを少なくする為にも、樹木の専門家である、お近くの造園業者さんに依頼したほうが良いかと思われます。
きっと樹木が大手術を乗り越えられるよう最善を尽くしてもらえるはずです。
また、樹木が弱ってきた時も相談にのってもらえると思います。

移植料金に関しましても、上記の理由によって具体的にはお答えできませんが、料金の要素としては樹木の大きさ・周りの環境（根を掘る障害）・クレーン付トラック等機械が進入できる（人力で移動出来ない場合）等です。

まず、お近くの造園業者さんに樹木を見てもらい、見積りをお願いしてから検討されたほうが良いでしょう。